Proposición 28

Enunciado

Sea $X$ un espacio localmente conexo por caminos. Las componentes conexas y las componente conexa por camino coinciden.^[1]

Demostración

Como localmente conexo por caminos implica localmente conexo, se tiene por el corolario 3 que las componentes conexas son abiertas. Aplicando ahora la proposición 27, las componentes conexas por caminos de una componente conexa son abiertos. Por tanto, solo puede tener una componente conexa por caminos, puesto que en caso contrario se tendría la separación de un espacio conexo

Con $C_x$ componente conexa de $x$, $P_x$ componente conexa por caminos de $x$ y $Q$ unión de las componentes conexas por caminos que no contienen a $x$.